四元数

概述

• 四元数是复数的一个延伸,相对于复数的二维空间,代表着一个四维空间.
• 解决了传统方法如欧拉角的万向锁问题

  基本公式

• $H=R+xi+yj+zk$
• $i^2=j^2=k^2=-1$
• 满足分配率
• 不满足交换率
  $ij=-ji=k$
  $ki=-ik=j$
  $jk=-kj=i$
• 求共轭
  $q=W+X_0i+Y_0j+Z_0k$
  则: $q^{-1}=W-X_0i-Y_0j-Z_0k$

  描述三维钢体旋转

  1. $p=0+X_1i+Y_1j+Z_1k$
     $(X_1,Y_1,Z_1)为钢体三维矢量$

1. $(X_0,Y_0,Z_0)为转轴向量$
   $\alpha 为旋转角度$
   则: $q=cos(\alpha /2)+sin(\alpha/2)(X_0i+Y_0j+Z_0k)$
2. $f(p) = qpq^{-1}为旋转后钢体方向向量$

   旋转符合右手定理

   • 大拇指为转轴向量
   • 四指握隆方向为旋转正向

附 Roll横滚 Pitch俯仰 Yaw偏航角

Roll: Pitch: Yaw: